内部投资报酬率概念(Internal Rate of Return)

今天有一个投资计划，可以用2000块买一台机器。这台机器生产的产品，每年都可以卖450块钱，连续五年，然后机器就会报销了，先不考虑风险，那么这项投资的报酬率如何呢?

OK。我们可以很简单的算，投资2000块下去，收回450*5=2250元，所以赚到(2250-2000)/2000= 12.5%，五年的投资，赚到了12.5%。可是假如你知道时间就是金钱的话，你知道现在投资下去的2000块，五年后本来就会值更多钱，未来五年，每一年收到的450块，现在的价值其实不到450块。考虑时间因素的话，这个投资的报酬到底多少呢?

我们可以先画一个简表，表示这个投资会让我们有怎样的支出和收入。假设卖产品的450元都在年末收到。


-2000代表的是支出，投资人支出这些款项。后面的450都是正的， 代表收入。

下一步，我们要选一个贴现率(Discount rate)。(ps. 我比较喜欢把它叫做折现率，因为它是用来把未来的钱折算成现在值所用的比率，可是在google查了一下，discount rate一般都称贴现率，所以就采用这个名称。)贴现率是用来让我们算距今一年后收到的450现在值多少钱，两年后的450现在值多少钱直到五年后的450现在值多少钱。一般可以用低风险的银行定存一年利率来试算看看。假设现在银行定存一年利率为2%，每年计息一次。

我们可以开始算未来收入的现值。可看到下表


未来五年的450收入，分别都得到了一个在2%贴现率下的净值。譬如说第一年的441.18。代表现在你把441.18元存入一个一年定存利率2%的银行，一年后就会得到450元。第二年的现值432.53其实可以看作现在你把432.53元存入一年定存利率2%的银行，每年计息一次，两年后你就可以得到450元，第三四五年都可以此类推。

这五年来的现值加总，-2000+441.18+432.53+424.05+415.74+407.57 = 121.07。这个值叫作净现值(Net present value)。

那我们也可以把贴现率换一下，譬如说5%好了。计算现值的表变成



在5%的贴现率下，净现值是-51.73。

终于可以回到主题。那什么是投资的内部报酬率呢? 它是一个贴现率的值，在这个贴现率下，这项投资现在和未来的各项资金收支现值和为零。(即净现值为零。)

回到我们的例子，可以看到这项投资在贴现率2%时，净现值为121.07。当贴现率为5%时，净现值为-51.73。所以它的内部报酬率必然在2%到5%之间，我们可以用不同的值，例如4%下去算，逐步逼近让净现值为零的贴现率，那么，这个贴现率就是这个投资的内部报酬率(Internal rate of return)。

感谢计算机这个伟大的发明，我们可以用Excel很快算出这项投资的内部报酬率为4.06%。

怎么一个投资2000元每年回收450的计划会弄到那么复杂呢?我们2000块还是拿来存银行2%的定存好了。这个定存也作五年，每年计息一次，每年会收到2%的利息。这样的定存让我们有如下表的收支


最后一年2040代表最后是本金与最后一年利息一起收回。
这项投资是否也有内部报酬率呢?有的，同定义，内部报酬率就是让净现值为零的贴现率，我们用贴现率2%下去算。



净现值为-0.03。其实-0.03是因为四舍五入造成的。实际净现值应为零。数学可以证明，年利率r%，每年计息一次的定存，其内部报酬率就等于r%。

OK，那到底内部报酬率告诉我们什么呢?回到第一个投资的例子。买机器生产的投资，在2%的贴现率下净现值为121.07。相比之下，把钱放到银行定存，年利率2%的话，净现值为零。买机器生产的收益较高。买机器的内部为报酬率4.06%，也胜过银行定存的内部报酬率2%。所以假如不考虑风险等其它因素，单就数值来看的话，机器投资的收益胜过银行定存。但假如银行利率升到5%，你是要投资机器设生产线的老板，你会怎么想。第一个投资机器的例子，在5%的贴现率下，净现值为-51.73。机器的内部报酬率4.06%，也还是输银行定存的内部报酬率5%，这时候你会想把钱摆在银行还是拿出来投资呢?

这里就可以看到升息的影响。银行的利率可以看做一般投资最低报酬的要求。假如存银行都有年息5%，我为什么要做4%回报的投资，我为什么要接让工厂产品获利不到5%的单? 我把要开生产线的钱存银行，要买原料聘员工的钱拿去存银行，收益都更好。

但假如银行利率是1%，报酬率4%的投资，接获利3.5%的订单，都是有利可图的。资方就比较有意愿投资，愿意开生产线，愿意聘劳工买原料来生产，经济会比较热络。

回到主题”内部报酬率”，我觉得这是很重要的金融概念。它让完全不同的投资，有个共同比较的基础。就像这篇文章中的例子，买机器来生产有内部报酬率，定存也有内部报酬率，两者就可以比较。政府建高速公路然后跟用路人收费、投资人定期定额或是不定期不定额买基金，都可以有内部报酬率。这是一个很值得了解的概念。

后话: 内部报酬率虽然重要而且好用，但只用一个数值来评估一个投资，其实是有问题和限制的。有时候不能只看内部报酬率来做决定。
又，假如你懂内部报酬率，其实你也就懂了债券的Yield to Maturity (YTM)。债券的YTM就是它的内部报酬率。

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