债券的存续期间—Macaulay Duration

由”影响债券价格的因素”一文可以知道，到期时间愈长的债券，其价格对利率变化愈敏感。所以当其它条件都相同时，一张20年到期的债券和一张5年到期的债券，面对利率上升时，前者的价格跌幅较大。我们也知道票面利率愈低的债券，其价格对利率变化愈敏感。所以当其它条件一样，一张票面利率5%和一张票面利率9%的债券，面对利率上升时，前者的价格下跌较多。但假如债券同时有两个条件不同呢?

譬如一张5年期，票面利率5%的债券和一张10年期，票面利率7%的债券，面临利率上升时，何者的价格下跌较多呢?似乎就不容易比较了。

所以金融界发展出存续期间(Duration)的概念，用来衡量债券价格对利率变化的敏感度。这篇介绍1938年即由Frederick Macaulay发展出的Macaulay duration。

存续期间衡量某张债券的持有人平均在多少时间后可以拿回债券的配息和本金。比方说某债券让你在一年后拿回50元，两年后拿回50元，所以你拿回这些钱的平均时间是(1*50 + 2*50)/100=1.5年。1.5年就是这个债券的存续时间。不过这样说明是帮助了解初步概念，有点过于简化。

Macaulay的债券存续时间用的平均是加权平均。每个支付的利息和本金都有一个加权值，而这个权值等于该利息或本金的现值占债券现值的比例。来看一个例子，某债券票面金额10,000，票面利率4%，三年后到期，现在的殖利率是5%。

债券的利息和本金支付如下

再算出各利息和本金现值所占债券现值的百分比

这个百分比就是该利息或本金支付的时间所应乘上的权重，譬如1年支付的利息占现值的3.916%，所以它的加权时间就是1年乘以0.03916=0.03916年，以此类推:

加权时间的总合0.03916+0.0746+2.7705=2.88年，这就是这张债券在5%的殖利率下的Macaulay duration。

看起来有点复杂。不过其实用Excel的话，也不难算。知道方法之后，有兴趣的朋友可以算算看同一张债券在8%的殖利率下，它的存续时间会变怎样。还有零息债券的存续时间是多少。

Macaulay duration有以下特性:
1. 零息债券的存续时间与其到期时间相等。
2. 支付利息的债券(Coupon bond)其存续时间永远会小于它的到期时间。
3. 票面利率愈低，存续时间愈长。
4. 一般来说，债券的到期时间愈长，存续时间愈长。但低票面利率债券，在高利率环境下(譬如票面利率3%，殖利率15%)，其存续时间有可能随到期时间的拉长而减短。
5. 到期殖利率(YTM)愈高，债券的存续时间愈短。

后记:我其实有点存疑是否要写这样的文章。因为财经文章的读者数量与文内的数学算式数量成反比。一张债券的分析，从现值的计算，用到等比级数开始，之后就愈来愈复杂。要算债券的曲率(Convexity)，就要用到微积分。不过，这些算式才是表象的根本。知道了之后，对整个概念就可以有更深入的掌握。

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